Class 12th maths notes chapter 3 Matrix Ex 3.1

इस लेख में, हमने  MP board class 12th maths book solution chapter 3 Matrix pdf साझा की हैं, ये हल 12वीं गणित के छात्रों के लिए अति महत्वपूर्ण है। ये समाधान नवीनतम एमपी बोर्ड पुस्तकों के विषय विशेषज्ञों द्वारा हल किए गए हैं।

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 Matrix (आव्यूह) Ex 3.1 

यहाँ पर 12वीं गणित अध्याय 3 आव्यूह का अभ्यास 3.1 का हल प्रस्तुत कर रहे हैं। जो कि आगे आने वाली अभ्यासों का आधार बनायेगा। आइये शुरू करते हैं।

प्रश्न 1.

आव्यूह A = ⎡⎣⎢2353–√5−21195/2−5−71217⎤⎦⎥, के लिए ज्ञात कीजिए:
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a13, a21, a33, a24, a23

    उत्तर:
(i) आव्यूह A में पंक्तियों की संख्या = 3
तथा स्तम्भों की संख्या = 4
इसलिए आव्यूह की कोटि = 3 × 4
(ii) अवयवों की संख्या = 3 × 4 = 12 अवयव
(iii) a13 = पहली पंक्ति व तीसरे स्तम्भ का अवयव = 19
इसी प्रकार,
a21 = 35, a33 =-5, a24 = 12 तथा a23 = 52

प्रश्न 2.

यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?

    उत्तर:
(i) 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ निम्न प्रकार हैं
1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4

(ii) 13 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 13 और 13 × 1

प्रश्न 3.

यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?

    उत्तर:
(i) 8 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ निम्न प्रकार हैं- 18 × 1, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 1 × 18
(ii) 5 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 5, 5 × 1

प्रश्न 4.

एक 2 × 2 आव्यूह A = [aij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं-

प्रश्न 5.

एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं-

(i) aij = |-3i + j|
(ii) aij = 2i – j

     उत्तर:

प्रश्न 6.

निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए-

     उत्तर:
(i) [4x35]=[y1z5]
∵ दोनों आव्यूह समान हैं
∴ संगत अवयवों को समान रखने पर
4 = y ⇒ y = 4
3 = z ⇒ 2 = 3
तथा x = 1
अतः x = 1, y = 4 तथा z = 3

(ii) [x+y5+z2xy]=[6528]
दो आव्यूहों की समानता परिभाषा. से संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y = 6 ⇒ y = 6 – x
तथा xy = 8
⇒ x (6 – x) = 8 ⇒ 6x – x2 = 8
x2 – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = 4, 2
∴ y = 2, 4
तथा 5 + z = 5 ⇒ z = 0
अत: x = 4, y = 2 तथा z = 0 अथवा x = 2, y = 4 व z = 0

(iii) ⎡⎣⎢x+y+zx+zy+x⎤⎦⎥=⎡⎣⎢957⎤⎦⎥
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y + z = 9 …. (i)
x + z = 5 … (ii)
y + z = 7 … (iii)
समी (i) व (iii) से,
x + 7 = 9 ⇒ x2
x का मान (ii) में रखने पर,
2 + z = 5 ⇒ z = 3
तथा y = 7 – 3 = 4
अतः x = 2, y = 4 तथा z = 3

प्रश्न 7.

समीकरण  से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।

       उत्तर:
दोनों आव्यूह के संगत अवयवों को समान रखने पर,
a – b = -1 …(i)
2a – b = 0 ⇒ 2a = b …(ii)
2a + c = 5 ….(iii)
तथा 3c + d = 13 ….(iv)
समी० (i) व (ii) से,
a – 2a = -1 ⇒ a = -1
∴ b = 2
समी० (iii) से,
2 (1) + c = 5
⇒ c = 5 + 2 = 7
समी० (iv) 3c + d = 13
d = 13 – 21 = 8
अतः a = 1, b = -2, c = 7 तथा d = 8

प्रश्न 8.
A = [aij]m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) m < n (B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं
     उत्तर:
वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के समान है।
m = n
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं-

     उत्तर:
दिए हुए आव्यूह समान हैं।
3x + 7 = 0 ⇒ 3x = -7 ∴ x = −73
तथा 5 = y – 2 ⇒ 5 + 2 = y ∴ y = 7
2 – 3x = 4 ⇒ -3x = 4 – 2
⇒ -3x = 2 ∴ x = −23
x के दो मान −73 और −23 हैं। यह नहीं हो सकता।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 10.
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
     उत्तर:
3 × 3 कोटि के 9 अवयव हों तो प्रत्येक स्थान पर 0 या 1 रख सकते हैं।
0 के स्थानों को भरने के लिए 29 = 512 तरीके हो सकते हैं।
∴ सम्भव आव्यूहों की संख्या = 512
अतः विकल्प (D) सही है।

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